Millennium Prize Problems : 100만달러를 노려라, 세계수학 7대난제

Millennium Prize Problems

100만달러를 노려라, 세계수학 7대난제

2000년. 하버드대학의 수학천재라고 불리는 수학자들이 모여 '클레이수학연구소'를 만듭니다. 수학을 널리 알리고 발전시키고자 만든 연구소로서 여러 상을 제정해 장래가 유망한 수학자들에게 상을 수여하는 등 다양한 활동을 하고 있습니다.

그리고 연구소를 만든직후 '밀레니엄문제'를 발표합니다.

2000년 5월 24일에 발표한 밀레니엄문제란, 연구소에서 채택한 "오랫동안 풀 수 없지만 가장 기본적이고 중요한문제 일곱가지"를 말합니다. 그리고 연구소는 한 문제당 100만 달러의 상금을 책정했습니다. 즉, 한 사람이 일곱문제를 다 풀게 되면 700만 달러라는 막대한 상금을 받게 되는 것이지요.

하지만 현재는 '푸앵카레추측'만 증명되었을 뿐 나머지 난제들은 증명되지 못했습니다. 푸앵카레추측을 증명한 사람은 러시아 수학자 '그레고리 펠레만'인데요. 이에 상과 상금을 전달하려고 했지만, 그는 상을 거부했습니다.

사실 그레고리 펠레만은 밀레니엄 문제에 관련된 상 외에도 다양한 상을 거절한 바 있습니다. 가장 유명한 것은 수학계의 노벨상이라고 불리는 '필즈상'을 거절한 것이죠. 이유는 '수학커뮤니티의 도덕적 기준에 대한 실망'이라고 합니다. 심지어 필즈상 사건 이후에는 잠적하여 은둔하고 있다고 하는데요. 현재는 어머니의 작은 아파트에서 어머니의 연금으로 살아가고 있다는 소식입니다.

(▲모든 상을 거절한 남자로 불리는, 그레고리 펠레만)

세계7대난제

현재까지 증명되지 않은 여섯개 + 1개의 이론들

그렇다면 현재 증명되지 않은 여섯개의 이론과 그레고리 펠레만이 증명한 한 개의 이론은 어떤 것일까요?

일단 일곱개의 수학난제는 아래와 같습니다.

1. 나비에 - 스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움

이 방정식은 '점탄성없는 유체'의 작용하는 힘과 '운동량'의 변화를 기술하는 비선형편미분 방정식입니다. 뉴턴의 법칙 중 제2법칙의 확장이라고 불립니다. 현재 '역학'에 관련된 수많은 곳들에서 사용되고 있는 법칙입니다.

이 방정식을 수학적인 관점에서 보면 3차원(혹은 시간을 포함하는 4차원시공간) 상에서 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 그 해를 어떻게 구할 것인지, 특이한 지점은 없는지, 그래프의 구조가 매끄러운지에 대한 증명이 아직 밝혀지지 않았습니다. 이렇게 미 증명된 부분을 수학적으로 해결해야 합니다.

2. 리만 가설

수학자 베른하르트리만이 세운 가설입니다. 정수론의 문제 중 가장 복잡한 문제라고 일컬어지며 수학의 역사상 가장 복잡한 문제라는 말이 있을 정도로 굉장히 난이도가 높은 문제입니다.

수학자 오일러의 이론으로부터 출발하는데요. 수학자 오일러는 '소수'의 규칙성에 대해 연구하면서, 무한하게 등장하는 소수들이 어떠한 규칙도 찾을 수 없다는 것을 알게 됩니다. 대신 대략의 분포를 알아내는 함수만 알게 되는데요. 리만은 이 오일러 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만들게 되는데, 이 그래프를 통해서 리만은 계산한 4개의 제로점이 모두 일직선상에 있다는 것을 발견하게 됩니다.

이 부분을 통해 리만은 혹시 다른 제로점 모두 일직선상에 있는 것은 아닌가, 하는 추측을 하게 됩니다.

3. 버츠와 스위너톤-다이어 추측

버츠와 스위너톤-다이어는 '실제 유리수점이 얼마나 많은가 하는 것은 국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 일치한다'는 것을 추측하였습니다. 이에 대한 수학적 증명을 요구하는 문제입니다.

이것은 페르마의 대정리를 증명했던 '앤드루 와일스'교수인데요. 이 이론은 최소한의 이해를 위해서 요구하는 배경 수준마저도 훨씬 높은 수준의 문제입니다.

4. 양-밀스 질량 간극 가설

양-밀스가 발표한 이론의 존재를 증명하고 질량간극을 증명하는 문제입니다. 양-밀스 이론은 중국의 물리학자 '양전닝'과 미국물리학자 '로퍼브 밀스'가 만든 이론입니다. 양자장론모델의 걍력과 약력을 설명하는데 이용하는 이론입니다. 양자장론이란 양자역학에서 언급한 입자들의 빛의 속도에 가깝게 움직이면 '상대성이론'이 적용되어야 하는데 그것을 모두 아우르는 이론입니다.

이 이론에 대한 설명과 더불어 진량간극을 증명해야 하는데요. 질량간극이란 세상에서 가장 가벼운 입자의 질량을 의미합니다. 그것이 '0'보다는 크다는 것을 증명, 즉 질량이 '0'인 입자는 없다는 것을 증명하라는 것입니다.

5. 호지 추측

기하학에 관련된 문제입니다. 기하학의 궁극적인 목표는 자신들이 다루는 대상에 대해 완벽히 분류하는 것입니다. 이를 위해서는 그 대상들을 분류하고 구별할 방법이 필요한데요. 위의 문제는 그런 점에서 의의를 지니는 문제입니다.

'코호몰리지'는 기하학적 대상을 일정 방법으로 조각낸 블럭들인데요. 두 기하학적 대상이 있을 때 이 둘을 똑같은 방법으로 분류해서 일정한 방법으로 재조립한 결과물이 다르다면 X와 Y는 처음부터 같지 않았다 라고 결론을 내릴 수 있습니다.

이와 같은 방식으로 따져봐야 하는 것인데, 호지추측이란 적절한 조건 아래의 대수다양체에서 얻어지는 '후지류'로 불리는 것들이 '대수적'이 된다는 것을 주장하는 가설입니다.

6. P-NP 문제

이 문제는 비교적 간단해보입니다. P집합과 NP집합이 과연 같은가, 다른가를 증명하는 문제입니다.

하지만 풀이는 간단하지 않습니다. 처음 이 문제가 알려진 이래로 40년이 지났지만 여전히 풀리지 않고 있는 문제입니다. 현재 수학자들은 P는 NP가 아니다, 라는 쪽으로 기울고 있지만 증명하지 못했습니다.

세간에는 한국교수가 증명했다, 라는 소문이 떠돌고 있지만 그것은 사실이 아님이 밝혀졌다고 합니다. 학계에서는 인정하지 않고 있다고 하지요. 이 문제를 밝히는 사람은 교과서에 실릴 정도의 위인으로 추앙받는다고 하니, 대단한 문제 중 하나임을 알 수 있습니다.

7. 푸앵카레 추측

러시아 수학자가 증명한 바로 그 문제입니다. 여기서 '3차원'이란 '3차원 구 공간'을 뜻하는데요. 이것은 사실 '4차원'공간을 뜻한다고 합니다. 때문에 '4차원'의 공간에서 닫힌곡선이 하나로 모일 수 있다면, 그 공간은 구로 변형되는가, 를 증명하면 됩니다.

이에 대해 앙리푸앵카레의 증명은 그의 홈페이지를 통해 볼 수 있습니다.

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100만달러를 노려라, 세계수학 7대난제

기본적으로 쓰이고 있음에도 아직까지 증명되지 않은 이 난제들은 여전히 자신을 풀어줄 학자들을 기다리고 있습니다. 클레이수학연구소는 여전히 그 길을 열어두고 있는데요! 과연, 이 문제들을 풀어줄 학자들이 어디에서 발견될지 알 수 없는 일입니다.